Đỉnh cao Toán học trong huyền thoại Tôn giáo và văn minh nhân loại (Pháp Hiền Cư Sỹ)

Tự ngôn: Trước tiên cho phép tôi cáo lỗi cùng những tác gia qua những danh phẩm mà tôi dùng để trích dẫn và viết bản văn này trong sự vô cùng giới hạn của mình: Theresa R. Fitzgerald, Lou marinoff, J.Perrot, N. Chomsky, T.D. Faticoni, S. Faner, S.R. Costenoble, Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Oxford Earth Sciences, Gentle, J. P.C. Kleijnen, R.N. Tallarida…

Và nhất là hai giáo trình nổi tiếng về tiếng Hy lạp và Do Thái của J. H. Dobson, và C.P. Halle. Ở mặt này, thì bài viết có thể xem như là cách “đạo văn”, ở mặt khác, thì bản văn có thể là một dàn trải cho một kết nối trong một chừng mực mà tôi cho rằng họ đã đến gần Phật giáo. Thay vì, footnote như các “học giả” đã làm trong văn bản học, thì lời chiêu vời đến sự rộng lượng của các vị ấy chính là “footnote” của bản văn. Riêng đối với độc giả, thì những tên tuổi ấy, chắc sẽ không xa lạ gì và các bạn có thể tìm đọc họ, trong một cách nào đó để thấy rằng, bài viết này còn lâu lắm mới tiếp cận được những gì mà các tác gia ấy hàm ngôn. PH.

Triết học ví như một cánh đồng thảo nguyên bát ngát dưới cái nhìn của tư duy nhân loại lúc bình minh và cuối chân trời cong giới hạn tầm nhìn với những đám mây phiêu lãng tang bồng, biết đâu chừng là những dòng suối ngọt mát của thi ca với tư cách là những thông điệp hạnh phúc từ một miền vô hạn gởi đến ta. Triết học, ở một nơi gần nhất, người ta có hay không một ít thẩm quyền, thả rong đàn bò của mình nhởn nhơ gặm cỏ, và thi ca ở một nơi xa xôi, người ta được trọn quyền diễn cảm những gì chưa biết được – ngôn ngữ và những quy luật chưa được đặt ra.

Muốn biết những diễn cảm phức hợp và chưa có quy luật như vậy, cách tốt nhất bạn nên leo lên một ngọn đồi nào đó trong một quần thể núi cao của Toán học. Bởi vì, “cái ít nhất lại là cái nhiều hơn cả (less is more – thiểu thắng đa) và Lão Tử cũng cho rằng, đạo Trời là đạo của sự giảm trừ, còn đạo của tiểu nhân càng lúc càng tăng). Và, cũng bởi vì, với một vài viên sỏi bạn có thể vẽ nên Thượng Đế; thay vì miêu tả chính xác một khái niệm nào đó những đến 10 từ, trong khi đó ở Toán học, bạn chỉ cần đến 3 hay 5 từ mà thôi. Tôi chắc rằng, bạn sẽ chọn được phương án nào chính xác và nhanh nhất. Những đỉnh cao của Toán học đã là thành viên của huyền thoại tôn giáo và làm nên văn minh nhân loại một cách chuẩn mực, vô tranh. Những miền xác định của Toán học đã chia phần mình cho tính trừu tượng của Hình học không gian và chia phần mình cho những ai muốn ra ngoài thế giới, chẳng hạn, những hành giả Du-già.

Người ta nói rằng, mọi kinh điển của đức Phật thuyết ra, hầu hết là thi kệ (gathā), bởi vì chúng được rút gọn lại trong tuệ nhãn của Ngài. Rút gọn mọi khái niệm và làm cho chúng trở nên chính xác bằng các con số, đó là Toán học. Ngài có 5 loại nhãn quang trong một cái nhìn và lột trần trọn vẹn những phủ che bất thực mà ta vẫn cho là chân lý. Cựu Ước dạy rằng: “Chúa không ở trong tất cả những cái Ngài tạo ra.” Ngài là một thực thể duy nhất mà không ai có quyền chạm đến, do vậy, những đại diện cho Ngài luôn luôn có tính vĩnh cửu, độc đoán, qua đó ta có thể gởi đến Ngài những thông điệp với vô số khổ đau và phiền lụy trong cái được tạo ra như vậy. Tuy nhiên, với Toán học thì không. Một chiếc thuyền rỗng đáy, luôn biến thái, lợi lạc nhiều hơn một đơn nguyên nào đó bên ngoài vũ trụ – vô thường là niềm vui của một “thánh nhân” trong Phật giáo.

Thuật ngữ bhāvana (to concretize / practice) của Phật giáo luôn có nghĩa là “biến một cái gì đó thành hiện thực theo hướng trí tuệ toàn diện” và người Mỹ đã ứng dụng nó cho môi trường giáo dục một cách thành công. Nó chỉ kém hơn Phật giáo ở một gốc nào đó của “từ bi”, khi người ta đem sự thông minh ấy vào lãnh vực “chiến tranh và cướp bóc” qua “cái ngã’ hay tính cực đoan của mình. Nói chung, “biến một cái gì đó thành hiện thực theo hướng trí tuệ toàn diện”, người Đức, Pháp và Mỹ đã thực hiện hoàn chỉnh khi trực nhập Ấn Độ, và trong hầu hết mọi kinh Phật, trạng thái này được đặt lên hàng đầu. Người ta nhắc đến ngài Long Thọ, Thánh Thiên, Pháp Xứng, Nguyệt Xứng… như là những Luận lý gia cự phách mà quên rằng, quý ngài là những nhà Thiên văn học, Nhân chủng học, Ngôn ngữ học, Vật lý và là những nhà Toán học, Hình học vĩ đại nhất của mọi thời kỳ. Tuy nhiên, chính cái “không nói” của Phật giáo mới thật sự làm nên lịch sử của niềm tin và giải thoát.

Như L. Marinoff nói, Văn minh Tây phương mà nền tảng của nó y trên văn minh Ấn Độ, và phát triển thành cây đại thọ cùng với các “dây leo” của hai nền văn minh cổ đại Hy-Lạp và Do Thái-Cơ Đốc giáo. Như vậy hai nền văn minh ấy chỉ là “những dây leo”, thuật ngữ chỉ cho cảnh thái này: double-helix (văn minh hình trôn ốc). Tất cả tạo nên táng dù che rợp toàn bộ địa cầu này.

Như Tây phương đã làm, thay vì hiểu Tánh Không như là khái niệm duyên khởi của các pháp, thì chính cái cách dựa trên hình thể Không này – chuỗi tập hợp được định dạnh bằng bảng số (A) – người ta phát minh các loại máy móc tinh xảo, như các trục tròn, cụm dây chuyền sản xuất, hình thái đĩa bay, phi thuyền con thoi, các đường cong làm giảm lực và chịu lực, các máy gia tốc trong vật lý… nhằm khám phá những bí mật của vũ trụ, của thân tâm nhân loại. Tóm lại “hình tròn” chi phối trọn vẹn mọi văn minh thế giới. Thậm chí ngày hôm nay, “hình tròn” là cơ quan đầu não của công nghệ điện toán và thuật toán giải mã hầu hết cơ chế “sắc pháp” của địa cầu.

Toán học phát sinh từ tôn giáo và nhất là những tôn giáo có nền Văn minh du mục. Bởi vì một người nông dân sẽ chẳng biết trong cánh đồng của mình sẽ có bao cây lúa, thế nhưng đối với một gã chăn cừu, anh ta biết chính xác là mình có bao nhiêu con cừu và chí đến anh ta sẽ có thêm bao nhiều con cừu đực hay cái nữa. Anh ta sử dụng một túi đựng sỏi để thống kê số cừu mà anh ta đang chăn. Khi một con cừu vào đồng anh ta lấy trong túi mình ra một hòn sỏi, khi đàn cừu ra khỏi đồng, anh ta bỏ những viên sỏi vào túi lại. Nếu như có một viên sỏi nào còn trên mặt đất, anh ta biết rằng có những con cừu đang lạc bầy và ngược lại. Nếu như những hòn sỏi không có số dư nào, mà đàn cừu thì nhiều hơn, anh ta biết rằng, một cách nào đó đàn cừu đã sinh con. Sự tương ứng giữa những hòn sỏi trong túi và đàn cừu là một trong những công thức chủ yếu về tri thức số đếm. Cách đếm này, trong ngôn ngữ ngày nay gọi là sự tương ưng một-một (an one-to-one correspondence), hay là cách song ánh (bijection) giữa túi đựng sỏi với đàn cừu. Loại hình đếm đó vẫn còn được duy trì cho đến ngày hôm nay, nếu như ta muốn tạo nên một tấm kiểm danh (attendance sheet) nào đó cho phạm vi giáo dục của ta. Chẳng hạn, trong lớp học, mỗi tên của một học sinh trên tấm kiểm danh này sẽ tương ứng với một em học trò nào đó và ta sẽ biết chính xác em học sinh nào bỏ học khi tên của em không có trong đó hay một học sinh nào không trả lời đúng tên mình đã ghi trong bảng kiểm danh này, cách ấy gọi là cách song ánh như đã nêu. Thậm chí, ta có thể ứng dụng cách đếm như vậy trong lãnh vực giá cả của kho lưu trử hàng hoá của mình qua mỗi một đơn vị được ghi lên thẻ. Khi ta phân bố biên lai cho mỗi sự vật, nghĩa là ta đã mô phỏng theo túi dựng sỏi của người chăn cừu qua thẻ giá toàn phần (the total price of the card) như vậy.

Trong mọi kinh điển của Phật, Ngài đã dùng tấm thẻ (mukha) này để định vị tướng thế gian, cụ thể là hai bản kinh Đại Không và Tiểu Không trong hệ thống kinh điển Trung Bộ, đại khái Ngài dạy rằng, Ngài nói KHÔNG, không có nghĩa là không có gì, trong đó còn có trâu bò, tinh xá và có cả các Tỳ-kheo nữa, hơn thế trong chương Samantamukham – parivarta (Tấm thẻ toàn năng / phẩm Phổ Môn), một chương nổi tiếng trong bản kinh Sad-dharmapuṇdarīkā (kinh Diệu Pháp Liên Hoa) hành tích của ngài Quan Thế Âm, nếu chẳng phải là hành tích của tấm thẻ (A) này, và rải rác trong bản kinh ấy, một ít hệ thống di truyền bằng phát đồ gen (go-cāra) cũng được triển khai. Ta còn tìm thấy, một số luận đề chủ yếu, các luận sư của Phật giáo có đề cập đến phần nhiệt học (vipāka) của tâm thức với những định hướng chánh nhân trong các hạt và quan điểm chính xác này cũng đã được triển khai trong hầu hết các luận thơ kỳ vĩ họ; thậm chí tấm thẻ này dùng để định vị luôn cho tướng xuất thế gian. Sự chính xác, tưởng như quả bóng được sút tuyệt vời từ trái đất này làm thủng lưới cầu môn trên sao Hoả . Sự kiện đó, phần nhiệt học (vipāka), cho ta biết rằng vì sao ta có thể tư duy và tư duy vào trong những lãnh vực đặc thù theo bản chất biến động của hệ di truyền thế giới. Khi đun nóng một thanh sắt hay một chất liệu thô nào, hoặc xấp hình bằng những hòn sỏi đơn điệu, thì người ta sẽ quan sát được màu, hình thể hoặc nếm được hương vị của chúng. Hình thể, hương liệu thành mùi vị và màu có thể thấy được, làm nên bản chất của tư duy Toán học. Giải mã được màu, tức là giải mã được toàn diện nhiễm sắc thể của vạn loài. Như ta biết, những bài tán ca đều được dẫn xuất từ các quãng 8 của nhà toán và hình học thiên tài Pythagorus và vài nguyên âm căng tới hạn để chi phối mọi nét biến thái của những phụ âm trong tiếng Phạn; tính mê hoặc của âm hình và toán học, người ta chỉ tìm thấy trong Phạn văn, Ai Cập, Hy Lạp và nhất là Do Thái ngữ – nơi sinh ra những vĩ nhân – mà thôi.

Ta có tin điều đó hay không, thì Toán học cũng như cách quan sát của Phật giáo vẫn y như cách đếm quan yếu của người chăn cừu. Dụ như, con số một (1) – hay tính nhất thể – là toàn bộ những tập hợp tăng ứng (match up) thành cách thế chính xác cho tập hợp {•}. Do vậy, ta cho rằng, thẻ {•} = 1 và ta cũng cho rằng thẻ ({*}) = 1. Vậy, con số 1 là cái toàn bộ để ta tiếp cận được phần tử tập hợp này.

Sở dĩ ta sử dụng dấu hiệu con số 1 theo quy ước, là vì nó là con số được ta nhắc đến nhiều hơn hết trải qua bao thế kỷ. Và, kế đến là số 2, nó là con số được chứng minh cho toàn bộ những tập hợp đó nhằm tăng ứng một cách hoàn hảo cho {•,*}. Ta có:
Thẻ ({•,*}) = 2
Sở dĩ ta sử dụng con số 2, là vì ta định nghĩa nó là phương hướng. Và phương hướng này được thao tác theo sự thỏa thuận của ta. Nó trình bày mọi tập hợp khả thể (all possible sets) để tăng ứng chính xác với tập hợp {•,*}. Bộ tập hợp này đúng là cái mà ta đã từng nói đến. Giả định rằng 8 luận chứng phủ định của ngài Long Thọ là 8 phủ định của mọi tập hợp và rồi Niết-bàn khiến cho có mọi tập hợp rỗng ứng tăng theo những phẩm tính diệu kỳ. Vậy thì, ta được:
Thẻ ({•,*}) = ∅

Ta gọi tính tương đương (equivalent) này bằng ngữ đoạn (phrase) những phép tăng ứng hoàn thiện hay khiến cho ứng tăng hoàn thiện (matches up perfectly). Đây là phép song ánh mà ta vừa ám chỉ, tức là ({•,*}) ⇆ ∅. Như vậy, các tập hợp A (1) và B (2), được gọi là tính tương đương, nếu như và chỉ như ta thừa nhận có cách song ánh giữa chúng. Từng điểm trong mọi tập hợp ∅ con, là từng điểm trong một tập hợp ∅ cực đại. Nói cách khác, có một phương hướng làm cho giữa A và B tăng ứng, ta hay gọi là hàm số (function) hay cách song ánh.
f: A → B

Thế thì:
1. Những yếu tố sai số của A là những yếu tố ánh xạ cho những yếu tố của B.
2. Mỗi một yếu tố của B được liên đới cùng một yếu tố nào đó của A.

Sự song ánh này có thể họa thành với tư cách là một hình ảnh cho những tập hợp (mang tính) xác định. Ví như một tập hợp đa dạng trên bề mặt của một khối kim cương, bằng những đường chéo, người ta có được những hình tam giác trên một giao điểm nào đó. Cũng vậy, trong Tánh không, giao điểm xác định vẫn phải là vô thường. Vô thường được thừa nhận là tồn tại trong Tánh không và ngược lại, Tánh Không ánh xạ vô thường; nguyên lý này cho ta biết là mình có Phật tính và tồn tại như sự song ánh và giao điểm trong Ma trận thức hay giao điểm tư duy làm nên các tam giác cho nhận thức. Do vậy, tâm thức của ta, kể các các lãnh vực siêu hình vốn là những miền xác định mà người ta có thể nghiệm chứng. Một vài thuật ngữ của Phật giáo nói lên hầu hết các hiện tượng này: đường dẫn phụ di truyền (upacāra), tính song ánh (upadāya), sự ứng giao cấu hình (vikalpa), bộ tập hợp hình hay sự dẫn xuất ngôn tính (vāsana), duyên khởi (dependent phenomena / dependent origination) tức là tính ánh xạ (mappiness / mapping). Hãy để A = {a1, a2, a3} và đặt B = {b1, b2, b3}. Vậy, một song ánh giữa A với B thành là:
a1 ↦ b1
a2 ↦ b2
a3 ↦ b3
Ở đây, theo nhà toán học Theodore G. Faticoni còn có một song ánh khác nữa.
a1 ↦ b3
a2 ↦ b2
a3 ↦ b1

Bạn có thể thấy rằng mình không nhất thiết là phải quan tâm đến các chỉ số dưới (subscript). Sở dĩ các ánh xạ (mapping) này là các ánh xạ song ánh, là vì bạn có thể nhận ra các yếu tố ak đang phát cho các yếu tố sai số bl (akarma →bloka. Tức là, 1→ 2 {k, con số thực + l, sai số của b}. Nên nhớ rằng, b là căn tố to be [âm tố nằm ở vị trí số 2] trong tiếng Anh, và căn tố √bhū [âm môi, làm nhiệm vụ thành ngôn] trong tiếng Phạn, chỉ cho hành vi năng sinh thế giới nội hàm thuật toán và âm thanh). Cũng vậy, mỗi một yếu tố trong B duyên sinh cùng một yếu tố trong A-trong A và B chứa đựng vô số a nhỏ. Thật thế, đó là cách mà những nhà toán học đếm được các yếu tố trong những tập hợp chính xác như thế nào.

Khi giới hạn về tính “rỗng không” của nhân quả di hành trên hình cầu, cũng có nghĩa là, Long thọ đã cho một ý tưởng rộng mở đầy ấn tượng để ta đếm được những tập hợp vô hạn bằng phương pháp đồng nhất (the same manner) hay phương pháp đồng cách, song, ta phải dùng các biểu tượng sai biệt để giải thích thẻ (A) này với tư cách là lực duyên khởi số của nó. Nên nhớ là, một đạo hàm, một phương trình hay một hệ thức cũng chỉ là một ý tưởng, một lý thuyết, chúng có thể đúng với miền này, nhưng sẽ sai với cõi khác. Ví như, thời gian là tương đối ở cõi này, nhưng có thể đồng nhất với cõi khác. Mỗi một cá thể ở cõi đó sẽ bẩm thụ thời gian, ánh sáng, thọ lượng bằng vô lượng đơn vị ánh sáng (Amitabhā) trong một đại tập hợp tuyệt đối—thế giới phẳng của vô lượng tập hợp đồng nhất—hoặc là có những cõi mà thời gian, ánh sáng, thọ mệnh, thức ăn… không phải là yếu tính cung cấp tư duy cho họ. Đời sống chủ yếu của họ là niềm vui của trầm tư, chất liệu dưỡng sinh thuần tịnh. Sự sai biệt, chẳng hạn, trong một luận bản trứ danh của ngài Visubadhu, có tên là Ma trân thức, Ngài cho rằng, “con đường dẫn phụ của TÍNH và TƯỚNG mà bản chất đa dạng của chúng chuyển động dựa trên cách xử lý của thức. Cách xử lý này có khi bằng hình thái chuyển động đều, có khi chuyển động khúc xạ: nhiệt học, tư duy và tư duy vào các miền đặc biệt.” Sự chuyển động khúc xạ, tạo nên ảo giác như loài nai khát nước trong sa mạc; sự chuyển động đều, khiến ta được cân bằng, tạo nên những lạc quan về tính hạnh phúc vĩnh cửu chứa nhóm trong ta và hướng ta về đó. Cũng trong một bản kinh khác, có tên là Prajñāparamitahṛdaya, khi vị thánh Āryavalokiteśvara, giới thiệu bộ khung “rūpaṃ śūṇyātaṃ”, có nghĩa rằng, Ngài giới thiệu cho ta 2 bộ tập hợp: ∅, và ∅ ≤ rūpaṃśūṇyātaṃ. Tức là công thức “biến hành tâm” cij =   a il blj¬ trong ma trận.

Ở đây, với cái nhìn toán học, bộ tập hợp “rūpaṃ śūṇyātaṃ” là một tập hợp hữu nghiệm trong thẻ (A) vô nghiệm và sau đó thì vị thánh ấy giải thích bộ tập hợp hữu nghiệm—X đã cho với những phần tử ẩn này—nhằm đưa đến “sự nghiệm chứng” về tấm thẻ (A) vô nghiệm đã cho. Giờ thì ta đặt:

Thẻ (A) = lực duyên khởi số của A (the cardinality of A)

Thẻ (A) này đơn giản nói lên rằng, mọi tập hợp B có nghĩa là A tương đương với mọi tập hợp B. Tức là, thẻ (A) thuộc về tất cả tập hợp B mà ở đó đối với chúng có một song ánh f: A → B. Do vậy, B ∈ thẻ (A) hoặc chính xác là thẻ (A) = thẻ (B) khi nào mà có một hàm số f: A → B, vậy thì:

1. Những yếu tố phân sai của A được ánh xạ cùng những yếu tố phân sai (difference) của B.
2. Mỗi một yếu tố của B được liên đới cùng một yếu tố nào đó của A.

Y như thuật toán duyên sinh của ngài Long Thọ, phép xác định về song ánh vốn là bất biến (the definition of bijection has not changed).

Bởi vì những tập hợp này là những tập hợp vô cực, cho nên ta cần đến một biểu tượng mới để giải thích thẻ (A) của những tập hợp vô cực đó. Chẳng hạn, ngài Long Thọ đã dùng ngôn ngữ để hiển minh cái vô ngôn, song, trên thực tế, ngôn ngữ chính là Trung Đạo. Tuy nhiên hai đường chéo có thể giao ở một điểm nào đó, chớ không có nghĩa là Đồng quy như hiện tượng lạm pháp của các luận thuyết triết học, chẳng hạn, học thuyết Trung Dung của Khổng tử mà một số học giả Tây phương đang cố gán cho Trung Đạo nghĩa. Theo truyền thống toán học, người ta dùng biểu tượng א (aleph) của mẫu tự Do Thái để chỉ cho bộ tập hợp chứa đựng toàn bộ tập hợp. Ta có:
א
Để giải thích những lực duyên sinh số vô cực, ta đặt:
ℕ = {0, 1, 2, 3…}
ℝ = {x | x là một con số thực}
Như vậy, ℕ là tập hợp của toàn bộ tập hợp, nó bao hàm những số phi-âm (nonnegative numbers), và ℝ là tập hợp mọi con số thực. Điều này có thể tạo nên những khai triển thành số thập phân như 1.414 và 3.14159. Ta phát thảo:
thẻ(ℕ) = א¬0
Ta gọi sự triển khai này là aleph không (alept naught). Để có một lực duyên sinh số א1, thì sự triển khai đó là một sự thật toán học hoàn toàn đáng ngạc nhiên. Vậy:
א¬0 < א1.
Quả thật, có một chuỗi vô cực của những lực duyên sinh số vô cực.
א¬0 < א1 < א 2 < א3 <…
Do vậy, bản kinh Prajñāparamitahṛdaya, phần trung đoạn, có thể được dịch như sau: “Này Xá-lợi-phất! Bộ tập hợp sắc-không, là bộ tập hợp không-sắc, thế nên, sắc không khác không, không đồng nhất sắc. Cái gì là sắc, thì cái đó là không. Cái gì là không, thì cái đó là sắc. Trong không (thẻ(ℕ) = א¬0)…”

Tập hợp là gì?

Khi quan sát bất cứ hiện tượng nào, nếu không bằng nhãn quan chính xác, thì ta sẽ dễ rơi vào những đáp án ảo. Nói cách khác những lý giải nào không mang tính toán học, thì chúng chỉ là những thuộc tính ngôn ngữ mê mờ. Thuật ngữ “vô minh” mà Phật giáo hay dùng, có thể chỉ cho trường hợp này. Cách quan sát như vậy, cũng được tìm thấy trong tác phẩm Ma trận thức (consciousnesse Matrix – vijñāptimatrā) trứ danh của ngài Visubandhu, một đại luận sư của Phật giáo; trong đó ngài đã tách lớp Thức theo một tiến trình nhãn quang toán học toàn diện trên sự chuyển động của nó. Một nền tảng nào đó về toán học đã từng được truyền thừa (to be lay down) trước bất cứ diễn ngôn (discussion) nào về nó có thể phôi dựng (can begin). Hạn từ gaṇa của Phật giáo tương đương với từ set của tiếng Anh và secta của Latin. Người Hoa, đôi khi dịch là “hải hội”. Dịch từ này ngầm chỉ cho “biển là nơi quy tụ mọi dòng sông” hay là “nơi quy tụ vô số đơn vị hạt nước”. Tuy nhiên, đối với toán học, tập hợp là thu thập số lượng của những sự vật xét như là mọi đối tượng được quan sát bằng sự phổ dụng toán học (mathematical Universe) mà mọi đối tượng này tồn tại trong đó – kể cả các miền bất định và vô cực. Tóm lại, tập hợp A là một sự thu thập A về những đối tượng gọi là các yếu tố nhằm thoả mãn thuộc tính hay quyền sở hữu (property) này. Thuật ngữ “Sự phổ dụng toán học” dẫn sinh từ các nhà hiền triết Hy-Lạp và trường phái toán học của Plato và nhất là, ở một thời kỳ xa hơn trước đó, người ta đã thấy nó xuất hiện trong các bản kinh Phật giáo, chẳng hạn ngữ đoạn samantamukha, như ta đã đề cập ở trên. Khi chọn thuật ngữ này để giới thiệu lý thuyết tập hợp, rõ ràng là ta đã chọn lựa một đường lối và một phúc đáp tuyệt vời cho đề án của mình—vì sao mà vô sinh hữu (Something from Nothing – một cái gì đó dẫn sinh từ vô thể) ?

Khi truyền dạy một pháp tu đặc biệt nào đó, thì một bậc thầy của bất cứ tôn giáo nào cũng sẽ chọn một đệ tử có năng khiếu riêng về pháp tu ấy. Có nghĩa là, không có bất cứ sự phổ thông nào trong các lãnh vực đặc biệt, chẳng hạn thuật ngữ tập hợp, người ta ít khi bắt gặp nó trong các ấn bản phổ thông. Sự truyền dạy song ánh giữa thầy và trò cũng không ngoại lệ trong Phật giáo. Chính đức Phật vẫn thực hiện như vậy cho tất cả học trò của mình, cho dù ai cũng biết “sử dụng những con số tự nhiên như cách đếm của người chăn cừu.” Tức là, ai cũng cũng biết con số 1 là một trong các con số tự nhiên với sự cấu trúc chính xác (precise construction) toán học của nó. Con số 1 hay những con số tự nhiên còn rất ít từ thuở sơ khai sẽ được xây dựng bằng những tập hợp và những tập hợp con để cho biết là, những lý giải nào sở thuộc bề mặt (superficial) toán học, thì những lý giải ấy đều sai lầm (imprecise) và không phải là nền tảng toán học đủ nghĩa. Thật vậy, ta sẽ trình bày nền tảng toán học để thành tựu một lý giải chính xác cho tiến trình đếm và, thuật ngữ cardnality (lực lượng, bảng số chủ yếu, lực duyên sinh số) sẽ được dùng ở đây. Ta đặt A là một tập hợp hữu hạn (a finite set), như vậy lực duyên sinh số của A giải thích thành:

Card (A) này y như thuật ngữ alāya mà Phật giáo đã dùng, còn X, như là “rūpaṃśūṇyātaṃ”, một tập hợp đã cho hay một tập hợp định sẵn (given X – có vô số x con trong X), nó ánh xạ từng phần tử với A. Do vậy, thức alāya, được chứng minh là tồn tại qua những phần tử ánh xạ trong và của nó. Cái chứa nhóm và cái được thể hiện qua sự song ánh làm nên bản chất tri thức của ta. Nó không phải là cấu trúc lý giải bề mặt của ngôn ngữ học, như ta đã giải vế lý duyên sinh của Phật giáo theo kiểu Trung Hoa.

Ta phải rất cẩn thận khi xử lý card (A), bởi vì nó không phải là một tập hợp, cho dù trên mặt phổ niệm, ta thấy có một tập hợp rỗng chứa đựng mọi tập hợp, như bước ban đầu của bản văn đã trình bày. Đúng ra, ta nên gọi nó là một sự thu nhập hay một lớp tổng (sum class). Song, khi mà nó thành là một tập hợp, thì nó mới là một tập hợp tối yếu. Nó tối yếu khi nó hình thành lý thuyết cho những tập hợp ngoại vi, những thu nhập và các lớp, tức là nó tồn tại bằng biểu hiện. Nó tinh tế, đến độ chứa đựng từ trừ vô cực đến cộng vô cực. Cả hệ thống của Thiền tông Trung Hoa, chỉ nói đến thẻ (A) đó, họ dùng luôn các hình thái như đánh, đập, la, hét để chứng nghiệm nó, chí đến có người đã chặt đứt cánh tay mình để cầu cho được thẻ (A) như thế. Những hình thái như thế ta gọi là, các tập hợp ngoại vi (surrounding sets). Nhân quả mà sự song ánh của chúng sẽ hình thành các yếu tố sai phân vượt ngoài sự tinh ranh ma quái của con người. Ta nói luật định hướng của các ánh xạ phân sai giữa thẻ (A) và những tập hợp ngoại vi. Cái mà Phật giáo gọi là quy luật thú hướng ba cõi hay Niết-bàn vậy.